初三数学《一元二次方程》单元测试卷（满分120分，附详细解析）

【来源：易教网 更新时间：2026-08-14】

一元二次方程单元测试卷

温馨提示

本测试卷满分120分，考试时间90分钟。题目涵盖基础概念、计算应用、实际问题的数学建模以及创新思维训练。建议同学们先完整作答，再对照答案进行自我评估，找出知识薄弱点并针对性复习。

一、选择题（每题4分，共32分）

1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）

A. \( x^2 + 2x - 1 = 0 \)

B. \( x^3 - 4x = 0 \)

C. \( \dfrac{1}{x} + 3 = 5 \)

D. \( x + y = 6 \)

答案：A

解析：一元二次方程必须满足三个条件：一元（只有一个未知数）、二次（未知数最高次数为2）、整式方程。因此\( A \)符合所有条件，\( B \)中\( x^3 \)是三次，\( C \)中是分式方程，\( D \)中含有两个未知数。

2. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)的两个根分别是（ ）

A. 1和6

B. 2和3

C. -1和-6

D. -2和-3

答案：B

解析：将方程左边因式分解：\( x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \)，所以\( x = 2 \)或\( x = 3 \)。

二、填空题（每题4分，共24分）

11. 若关于\( x \)的一元二次方程\( x^2 - 3x + m = 0 \)有两个相等的实数根，则\( m = \)\underline{\qquad}\( 。

答案： \)\dfrac{9}{4}\(

解析：一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式 \)\Delta = b^2 - 4ac = 0\( 。

这里 \)a=1, b=-3, c=m\( ，所以 \)(-3)^2 - 4 \times 1 \times m = 0\( ，解得 \)9 - 4m = 0\( ，即 \)m = \dfrac{9}{4}\( 。

12. 某商品进价为80元，定价为120元。为扩大销售，商场决定降价出售，若要获得不低于20%的利润率，则最多可打\underline{\qquad}折。

答案：8折

解析：设可打 \)x\( 折，则售价为 \)120 \times \dfrac{x}{10}\( 元。利润率不低于20%意味着：

\)\dfrac{120 \times \frac{x}{10} - 80}{80} \geqslant 20\%\(

解得 \)x \geqslant 8\( ，所以最多可打8折。

三、解答题（共64分）

17. （10分）用配方法解方程： \)2x^2 - 4x - 6 = 0\(

解：

首先，将方程两边同时除以2，得：

\)x^2 - 2x - 3 = 0\(

移项，得：

\)x^2 - 2x = 3\(

两边同时加上 \)(-2 \div 2)^2 = 1\( ，得：

\)x^2 - 2x + 1 = 3 + 1\(

\)(x-1)^2 = 4\(

\)x - 1 = \pm 2\(

所以 \)x_1 = 3, x_2 = -1\( 。

18. （12分）某工厂生产一种零件，成本为每件25元。准备投放市场时，预计每月可销售200件。经市场调研发现，如果每件定价提高2元，销量就会减少20件。若该厂希望每月获得不低于5000元的利润，则定价应为多少元？

解：

设每件定价提高 \)x\( 元，则：

售价 = \)25 + x\( （元/件）

销量 = \)200 - 10x\( （件）

利润 = \)(25 + x - 25) \times (200 - 10x) = x(200 - 10x) = -10x^2 + 200x\(

由题意： \)-10x^2 + 200x \geqslant 5000\(

整理得： \)x^2 - 20x + 500 \leqslant 0\(

配方： \)(x-10)^2 - 100 + 500 \leqslant 0\(

\)(x-10)^2 \leqslant -400\(

由于 \)(x-10)^2 \geqslant 0\( ，不等式无解。

这说明无论怎样定价，都无法获得不低于5000元的利润。

答：该工厂无法实现每月不低于5000元的利润目标。

19. （14分）探索题：已知关于 \)x\( 的方程 \)x^2 - (2m+1)x + m^2 = 0\( 。

（1）求证：无论 \)m\( 取何值，方程总有实数根；

（2）若方程有两个整数根，求整数 \)m\( 的值。

解：

（1）证明：

判别式 \)\Delta = [-(2m+1)]^2 - 4 \times 1 \times m^2\(

\)= (2m+1)^2 - 4m^2\(

\)= 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2\(

\)= 4m + 1\(

因为 \)4m + 1 \geqslant 1 > 0\( （对任意实数 \)m\( 都成立），所以方程总有实数根。

（2）解：

设方程的两个根为 \)x_1, x_2\( ，由韦达定理：

\)x_1 + x_2 = 2m + 1\(

\)x_1 \cdot x_2 = m^2\(

因为 \)x_1, x_2\( 为整数，所以 \)x_1 + x_2\( 和 \)x_1 \cdot x_2\( 都是整数。

由 \)x_1 \cdot x_2 = m^2\( ，知 \)m^2\( 为整数，即 \)m\( 为整数。

尝试 \)m = 0, 1, -1\( 等值：

- 当 \)m = 0\( 时，方程为 \)x^2 - x = 0\( ，解得 \)x_1 = 0, x_2 = 1\( ，符合条件。

- 当 \)m = 1\( 时，方程为 \)x^2 - 3x + 1 = 0\( ，根为 \)\dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\( ，不是整数。

- 当 \)m = -1\( 时，方程为 \)x^2 + x + 1 = 0\( ，判别式 \)\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\( ，无实数根（不满足第一问结论）。

经验证， \)m = 0\( 是唯一满足条件的整数。

答： \)m = 0\( 。

复习建议

做完了这套测试卷，同学们需要认真分析自己的答题情况。对于基础概念题出错的同学，建议重新阅读教材中一元二次方程的定义和一般形式；对于计算题失误的同学，要加强配方法和公式法的练习；对于实际问题建模有困难的同学，建议多做“利润问题”“增长率问题”“几何问题”等典型应用题的专项训练。

掌握好 \)\Delta$与根的关系、韦达定理这两个核心知识点，是突破一元二次方程单元的关键。