高中数学虚轴包括哪些，高中数学中的虚轴都包含哪些内容？

【来源：易教网 更新时间：2026-10-29】

刚接触复平面时，我也在虚轴的定义上栽过跟头

高二上学期刚学复数的时候，我对着作业本上的选择题发了十分钟的呆：题目问“下列复数中，对应的点在虚轴上的是”，选项分别是\( 1+i \)、\( 2i \)、\( -3 \)、\( 0 \)。

我当时记得老师上课说虚轴上的点是纯虚数，0是实数，就直接选了\( 2i \)，结果对答案的时候发现正确答案把\( 0 \)也算进去了，当时我跟同桌犟了半节课，说虚轴上的点肯定是纯虚数啊，0哪里是纯虚数了？

后来老师给我拿了两版不同版本的教材，我才知道原来虚轴的定义从复平面被提出开始，就一直存在两种不同的约定，没有绝对统一的标准答案，关键看你用的是什么教材的体系。

最早提出复平面概念的数学家棣莫弗，当年把复平面里的垂直轴叫做“虚轴”，对应的是所有实部为0的复数，也就是\( z=bi \)（\( b\in\mathbb{R} \)）对应的点，这个时候原点\( 0+0i \)的实部是0，本来是被包含在虚轴的集合里的。

但后来不少编写教材的学者认为，纯虚数的定义是“实部为0且虚部不为0的复数”，虚轴既然对应纯虚数，自然就不应该包含原点，毕竟0本身是实数，不属于纯虚数的范畴。

这两种定义到现在都同时存在，人教版的旧版高中数学教材里，虚轴的定义对应纯虚数，所以不包含原点；而新版教材以及不少地区的高中数学教材里，虚轴被定义为“实部为0的复数对应的点的集合”，自然就把原点包含在内了。我之前遇到的争议，本质就是两版教材的定义差异，没有对错之分，只是约定不一样而已。

虚轴的三个核心属性，才是考试命题的重点

不管定义里包不包含原点，虚轴的核心属性是不会变的，这些属性才是考试里经常考的内容，搞清楚这三个点，比纠结原点要不要包含有用得多。

第一个是方向属性。

我们平时用的直角坐标系里，y轴向上是正方向，但在复平面里，虚轴的正方向是向下的，对应的复数\( bi \)里，\( b>0 \)的时候，点在虚轴的下半部分，\( b<0 \)的时候在上半部分，这个和我们平时习惯的直角坐标系不一样，不少同学刚学的时候会搞反，考试的时候经常把虚轴正方向搞成向上，丢不必要的分。

第二个是点的对应属性。虚轴上的所有点，实部都是0，对应的复数都可以写成\( bi \)的形式，\( b \)是任意实数。如果按照包含原点的定义，\( b \)可以取0，对应的就是原点；如果不包含原点，\( b \)不能取0，对应的就是纯虚数。

不管哪种定义，虚轴上的点的实部都是0，这个是不会变的，也是考试里最常考的判断依据，比死记“虚轴上是纯虚数”靠谱得多。

第三个是和实轴的垂直关系。

虚轴与实轴互相垂直，交点是原点，共同构成了复平面的直角坐标系，实轴上的点对应实数，虚轴上的点对应实部为0的复数，两个轴把复平面分成了四个象限，第一象限的点对应的复数实部虚部都为正，第二象限实部负虚部正，第三象限实部虚部都负，第四象限实部正虚部负，这些都是复平面最基础的内容，也是解复数几何题的基础。

虚轴在复数运算里的“隐藏用法”，不少老师上课不会特意提

很多同学觉得虚轴就是个用来判断复数位置的“标尺”，其实它在复数运算里的作用远比你想的大，尤其是做复数几何题的时候，虚轴的特性能帮你省不少计算时间。

首先是最基础的加减法运算。两个复数相加，实部和实部加，虚部和虚部加，放在复平面里看，就是把两个点对应的向量首尾相接，得到的和对应的点。如果两个数都在虚轴上，比如\( z_1=2i \)，\( z_2=3i \)，相加之后就是\( 5i \)，对应的点还是在虚轴上，相当于在虚轴上移动了3个单位；

如果是相减，\( 2i-3i=-i \)，对应的点还是在虚轴上，相当于向下移动了1个单位，这个特性在做复数加减的几何题的时候特别好用，不用把复数拆成实部虚部算，直接看虚轴上的位置就能得出结果。

然后是乘除法的运算。虚轴上的点乘以\( i \)，相当于绕原点逆时针旋转90度，比如\( z=bi \)，乘以\( i \)之后得到\( z\cdot i = bi^2 = -b \)，对应的点就在实轴的负半轴上，要是乘以\( -i \)，就是顺时针旋转90度，对应的点在实轴的正半轴上。

这个特性在做复数旋转类题目的时候特别好用，比如题目说“复数\( z \)在虚轴上，将\( z \)绕原点逆时针旋转90度之后落在实轴正半轴上”，你直接就能知道\( z\cdot i \)是正实数，所以\( z \)是负的纯虚数，不用列方程算。

还有除法的情况，虚轴上的点除以\( i \)，相当于顺时针旋转90度，比如\( z=bi \)除以\( i \)得到\( b \)，对应实轴正半轴上的点；除以\( -i \)就是逆时针旋转90度，对应实轴负半轴上的点。

这些特性不用死记公式，结合虚轴的位置和旋转的方向就能想明白，比记一堆乘法除法公式好用得多。

关于虚轴到底包不包含原点，考试的时候到底该怎么处理？

这是不少同学最纠结的问题，其实解决起来特别简单，不用去跟别人争定义的对错，只要看两个依据就行。

第一个依据是你用的教材的定义。如果你用的是老版的人教版教材，按照教材里的定义，虚轴对应纯虚数，不包含原点，那你在做同步作业的时候就按照这个定义来；

如果你用的是新版教材，或者老师上课的时候明确说了虚轴包含原点，就按照老师的要求来，毕竟考试的时候是按照你所在地区的教材要求命题的，不用去管别的教材的定义。

第二个依据是题目的设置。如果考试里遇到没有明确说明的题目，就看选项的设置，比如如果选项里有“实部为0的复数”和“纯虚数”两个容易混淆的选项，那就要看题目的默认约定，大部分情况下，现在的高考命题里，虚轴默认是包含原点的，因为实部为0的集合是更通用的定义，也更方便复数的分类，不容易产生歧义。

其实纠结虚轴包不包含原点，本质上是纠结集合的边界定义，就像我们平时说的“正数包不包含0”一样，不同的约定有不同的答案，没有绝对的对错。我们在学习的时候，只要搞清楚两种定义的差异来源，考试的时候按照对应的要求来就可以了，不用为了这个点死磕，反而耽误了其他更重要的内容。

我之前给学生讲这部分内容的时候，会让他们把虚轴的定义和自己教材里的定义对应上，然后把虚轴的三个核心属性记牢，不管定义怎么变，这三个属性是不会变的，考试的时候只要抓住实部为0这个核心判断依据，就不会出错。

刚学复平面的时候，我也觉得虚轴原点的争议特别扯，直到后来做竞赛题的时候才发现，不同的定义对应的是不同的数学体系，没有绝对的对错，只有适合不适合。就像我们平时学数学，很多概念的定义都不是绝对的，重要的是搞懂定义背后的逻辑，而不是死抠字眼。

比如虚轴不管是包含原点还是不包含，它的核心作用都是帮我们理解复数的几何意义，帮我们快速做复数运算的几何题，这个才是我们学习这部分内容的真正目的，比纠结原点要不要包含有用得多。