初中数学统计大题总丢分？5类必考题型+配套练习，搞懂平均/中位/众数再也不失分

【来源：易教网 更新时间：2026-08-10】

先理清4个核心统计量的本质，别死记硬背

后台最近涌入上百条初三同学的留言，说的都是同一个问题：统计部分的题看着一点难度都没有，概念也背得滚瓜烂熟，可一到模考、期末考就丢分，平均、中位、众数傻傻分不清什么时候用，方差极差算完总忘步骤，还有那种数据平移之后的统计量变化题，一上去就套错公式，五六分就这么没了，太亏。

很多同学一上来就背概念：平均数是反映数据集中趋势的，中位数是排序之后中间的数，众数是出现次数最多的，极差是最大值减最小值，方差是反映数据波动情况的。但一到做题就乱用，核心是你没搞懂每个量的适配场景。

比如算学期总评成绩，作业、课堂参与、期考占比不一样，就得用加权平均数，公式为\( \bar{x} = \frac{x_1w_1 + x_2w_2 + x_3w_3}{w_1 + w_2 + w_3} \)，这里的\( w_1、w_2、w_3 \)就是对应的权重，也就是题目里说的“权”，占比越高对最终结果的影响越大。

如果数据里有特别大或者特别小的极端值，比如算班里家庭月收入，有个别老板家收入几十万，大部分都是几千，这时候用中位数反而更能代表普通水平，因为平均数会被极端值带偏。众数适合看最普遍的情况，比如选最受同学欢迎的文具，买出现次数最多的款准没错。

极差是一组数据里最大数与最小数的差值，能快速判断数据的波动范围，比如看两次模考的成绩波动，极差大的说明发挥不稳定。方差是每个数据和平均数的差的平方的平均数，方差越小说明数据越稳定，越大说明波动越大，算的时候别漏平方就行。

5类必考题型逐个突破，看完就会做

题型1：加权平均数计算

例：数学期末总评成绩按作业、课堂参与、期考3:3:4的比例计算，已知小明期考80分，作业90分，课堂参与85分，他的总评成绩为多少？

解题思路：把比例当成权重，3、3、4相加得10，代入公式计算可得\( \bar{x} = \frac{90\times3 + 85\times3 + 80\times4}{3+3+4} = 84.5 \)分。

很多同学会直接算\( (90+85+80)/3 \)，忘了权重不同，这种低级错误考试的时候千万要避免。

题型2：方程思想结合统计量

例：某次考试A、B、C、D、E5名学生的平均分为62分，若去掉学生A，其余4名学生的平均得分为60分，那么学生A的得分是多少？

解题思路：先算5人总分：\( 62\times5=310 \)分，剩下4人总分：\( 60\times4=240 \)分，所以A的分数是\( 310-240=70 \)分。用方程解的话设A得x分，方程就是\( x + 60\times4 = 62\times5 \)，解出来结果一致。

这类题的核心就是抓住“总分不变”的等量关系，不用硬套公式，用方程反而更直观。

同类题还可以练春游分摊费用的题：原来x人参加，预计总费用120元，每人分摊\( \frac{120}{x} \)元，后来加2人，总费用不变，每人少分摊3元，列方程就是\( \frac{120}{x} - \frac{120}{x+2} = 3 \)，解出来原来参加春游的有8人。

题型3：分类讨论巧解统计题

例：5位衢州籍在外打工人员捐款献爱心，已知5人平均捐款560元，每人捐款数额均为百元的整数倍，捐款最少的捐了200元，最多的只有1人捐了800元，其中1人捐600元，600元恰好是5人捐款数额的中位数，求其余两人的捐款数额。

解题思路：先算5人总捐款：\( 560\times5=2800 \)元，已知的3个人捐款加起来是\( 200+600+800=1600 \)元，剩下两个人捐款总和为\( 2800-1600=1200 \)元。

因为600是中位数，排序后第三位是600，且最多只有1人捐800，所以剩下两个人要么都捐600元，要么一人捐500元、一人捐700元，两种情况都满足百元整数倍、最少200、最多仅1人800的条件，所以答案是600元、600元或500元、700元。

同类题练习：数据-1、3、0、x的极差是5，求x的值，就要分x是最大值、x是最小值两种情况讨论，最终得到x=4或x=-2，分类讨论的题一定要把所有符合条件的情况都列全，别漏解。

题型4：方差的实际应用

例：甲、乙两名射击运动员各射靶5次，命中环数分别为甲：5、8、8、9、10，乙：9、6、10、5、10。

（1）平均成绩：甲的平均数为\( \frac{5+8+8+9+10}{5}=8 \)，乙的平均数为\( \frac{9+6+10+5+10}{5}=8 \)，两人平均成绩相同；

（2）方差：甲方差\( s_甲^2 = \frac{1}{5}[(5-8)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (10-8)^2] = 2.8 \)，乙方差\( s_乙^2 = \frac{1}{5}[(9-8)^2 + (6-8)^2 + (10-8)^2 + (5-8)^2 + (10-8)^2] = 4.4 \)；

（3）因为甲方差更小，所以甲的成绩更稳定。不管是算方差还是极差，本质都是看数据的波动情况，波动越小越稳定。

之前考过的右眼视力统计题也属于这类实际应用，算出众数、中位数、平均数之后，记得结合实际情况谈看法，别只写数字。

题型5：变量平移后的统计量变化规律

例：已知1、2、3、4、5的平均数是3，方差是2，求101、102、103、104、105的平均数和方差。

解题思路：这组数据是原数据每个数加100得到的，根据规律：一组数据都加同一个常数，平均数也会加这个常数，方差不变，所以平均数是\( 3+100=103 \)，方差还是2。再比如4、6、8、10的平均数是7，方差是5，每个数乘2之后，平均数是14，方差是\( 5\times2^2=20 \)。

规律：若n个数据\( x_1,x_2,\dots,x_n \)的平均数为\( m \)，方差为\( w \)，则新数据\( x_1+a,x_2+a,\dots,x_n+a \)的平均数为\( m+a \)，方差为\( w \)；

新数据\( kx_1,kx_2,\dots,kx_n \)的平均数为\( km \)，方差为\( k^2w \)。这个规律不用死记，理解“加常数只是整体平移，波动情况不变，乘常数是把数据拉长拉宽，波动会跟着变”就记住了。

配套练习自测，看看你掌握了没有

1. 数学期末总评按作业:课堂参与:期考=3:3:4计算，小明期考80，作业90，课堂参与85，总评成绩是多少？

2. 样本1、2、3、0、1的平均数与中位数之和是多少？

3. 一组数据5，-2，3，x，3，-2，若每个数据都是众数，则平均数是？

4. 数据1，6，3，9，8的极差是多少？

5. 样本1、3、5、x、2的平均数是3，方差是多少？

6. 某班50人右眼视力检查结果如下：视力0.1到1.5对应的人数为2、2、2、3、3、4、5、6、7、11、5，求该班右眼视力的平均数、众数与中位数，并说说你的看法。

7. 5名学生平均分62，去掉1人后剩下4人平均分60，去掉的这个学生得分是多少？

8. 数据-1,3,0,x的极差是5，x的值是多少？

9. 甲、乙射击各5次，甲：5、8、8、9、10，乙：9、6、10、5、10，谁的成绩更稳定？

10. 已知1、2、3、4、5的平均数是3，方差是2，则101、102、103、104、105的平均数是？方差是？

11. n个数据平均数为m，方差为w，则新数据\( 5x_1,5x_2,\dots,5x_n \)的平均数是？方差是？

12. 在一次英语口试中，50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为84分，已知该班平均成绩为80分，问该班有多少人？

13. 一组数据23、27、20、18、X、12，它的中位数是21，则X的值是多少？

14. 数据23、25、28、22出现的次数依次为2、5、3、4次，这组数据的众数和中位数分别是多少？

15. 某班50名学生环保知识竞赛成绩如下：得分50、60、70、80、90、100、110、120对应的人数为2、3、6、14、15、5、4、1，求众数、中位数和平均数。

16. 一组数据\( X_1、X_2、\dots、X_n \)的极差是8，则另一组数据\( 2X_1+1、2X_2+1、\dots、2X_n+1 \)的极差是多少？

17. 若样本方差\( s^2 = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}(x_i - 3)^2 \)，则该样本的平均数为多少？样本容量为多少？

学后反思 checklist

做完上面的题，可以对照这几个问题检查自己有没有掌握：第一，加权平均数的权重相加是比例和，不会直接除以项目数，会不会漏乘权重？第二，分类讨论的题会不会漏情况？比如极差、中位数的题，有没有考虑到极端值的可能？第三，方差的计算会不会漏平方？会不会搞错平均数的数值？第四，变量平移、缩放的规律有没有记错？

加常数方差不变，乘常数方差乘常数的平方，这个规律是不是理解了而不是死记？

如果上面4个问题你都能答上来，那统计模块的题你基本就不会丢分了。还有啥不懂的题，评论区留言，明天给大家出详细解析。